[미적분학] Partial Derivatives with Constrained Variables

기계적인 편미분 계산에 의해 발생할 수 있는 문제를 방지하기 위해

Partial Derivatives with Constrained Variables에 대해 알아보자.

Problem.

$w=x^2+y^2+z^2, z=x^2+y^2$일 때, $\partial w/\partial x=?$

Sol.

case1)

\begin{align*}w=w(x,y)=x^2+y^2+(x^2+y^2)^2 \\ \frac{\partial w}{\partial x} = 2x + 0 + 2(x^2+y^2)(2x) = 2x + 4xy^2 + 4x^3\end{align*}

case2)

\begin{align*}w=w(z)=z + z^2 \\ \frac{\partial w}{\partial x} = 0\end{align*}

문제를 풀어보니 w를 어떻게 표현하느냐에 따라 $\partial w/\partial x$ 값이 다르게 도출된다는 것을 알 수 있다.

이게 어떻게 된 일일까?

물론 제약 조건이 없다면 $\partial w/\partial x$은 $2x$가 될 것이다. 하지만 제약 조건이 들어가 버리니 일반적인 편미분과는 다른 결과이자 여러가지 값이 나와버린 것이다.

그렇다면 무슨 차이가 이렇게 되게 한 것일까.

일반적인 편미분과는 다른 과정은 제약 조건을 w 에 넣어주기 위해 w(x, y, z) 함수를 변형시켰다는 것이다.

같은 (x,y,z)점에서 변형된 함수w도 기존 함수 w와 같은 값을 가짐에도 불구하고 z를 소거한 경우와 x와 y를 소거한 경우의 편미분 값이 다르다는 것이 이번 주제이다.

바로 이 문제에 대해 탐구를 해보도록 하자.

결론은 의외로 간단하다.

위에서 유도한 함수 w(x, y), w(z)와 기존 함수 w(x, y, z)는 애초에 서로 다른 함수라는 것을 파악하면 된다.

$w=w(x, y, z), w:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$ 이지만

제약 조건을 넣은 함수는 도메인 자체가 변형되어

$w=w(x, y), w:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$,

$w=w(z), w:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ (※실제로는 $w=w(x,z), w:\mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}$, 아래 내용 참고)이라는 것이다.

포장만 비슷하게 되었을 뿐이지 내용물은 다른 함수라는 것이다.

그러면 무엇이 맞는 것일까?

결론은 둘 모두 맞다는 것이다.

아니, 둘 중에 하나를 선택하기엔 문제에서 주어진 정보가 부족하다는 것을 파악해야 한다.

편미분의 개념을 기계적인 계산으로 생각해버리면 위와 같은 상황이 일어났을 때 혼란이 올 수 밖에 없지만

그 의미 자체를 파악하면 혼란은 쉽게 잠재워진다.

텍스트북의 문구를 인용해보자.

\begin{align*}\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}, x=g(t), y=h(t).\end{align*}

 The equation gives the rate of change of f with respect to increasing t and therefore depends, among other things, on the direction of motion along the curve.

df/dt는 t를 매개변수로 하는 커브 위의 함수 f의 변화율이라는 것이 핵심이다. 한 점과 근방의 한 점, 즉 미분의 방향을 알려주는 커브가 주어지지 않는다면 미분은 애초에 의미가 없다는 것이다. 미분을 할 때에는 그 커브가 무엇인지 알아야 비로소 그 의미가 나타나게 되는 것이다.

위 설명에 따르면 편미분 개념 또한 그 도메인의 변수 축에 평행한 직선 위의 함수 f의 변화율이라는 것을 파악해야 한다.

$\partial f/\partial x$는 h(t)=c (c is any constant)인 경우 즉, xy평면에서 x축에 평행한 직선 위에서의 함수 f의 변화율이라는 것을 알 수 있다. 그리고 이 값은 다른 커브 위의 함수 f의 변화율을 계산하는 데 이용될 수 있다라는 것도 파악해두자.

개념은 다 잡혔으니 처음 문제로 다시 돌아가보자.

 이해법은 w가 새롭게 정의 되었으니 이전에 있는 w에 얽매일 필요가 없는 것이다. 새로운 도메인으로 새로 정의된 각각의 w는 각각의 편미분 값을 가질 수 있는 것이다.

하지만 이렇게 끝내기에는 뭔가 미심쩍다. 좀 더 자세하게 설명을 해보자.

애초에 w를 새롭게 정의를 하긴 하는데 어떻게 새롭게 정의하라는 것인지 문제에 주어지지 않았다는 것을 눈치채야한다.

다만 x, y, z의 세 개의 변수 중 한 변수는 제약 조건에 의해 종속되어 있다는 것을 알려주고 있을 뿐이다.

구하라고 하는 것은 $\partial w/\partial x$이므로 주어진 도메인 위에서 x축에 평행한 직선 위의 w의 변화율이다.

따라서 문제 풀이를 하는 사람은 두 가지 경우를 생각해 볼 수 있다.

case1) x, y는 독립이고 z가 종속인 경우 : $x=x, y=y, z=z(x,y)$

case2) x, z는 독립이고 z가 종속인 경우 : $x=x, y=y(x,z), z=z$

case1)의 경우 도메인이 $\{(x,y)|(x,y) \in \mathbb{R}^2\}$이므로 xy 평면상에서 x 축에 평행한 직선에서의 함수 w의 변화율이고

 

[case1]

 

case2)의 경우 도메인이 $\{(x,z)|(x,z) \in \mathbb{R}^2\}$이므로 xz평면상에서 x 축에 평행한 직선에서의 함수 w의 변화율이다.

 

 

[case2]

(※ w(x,y,z)에서 원형 고리 위의 커브는 w=x^2+y^2+z^2 값이 일정함을 예의 주시 하자!)

이렇게 이해를 했으니 이제 직접 계산을 해볼 차례이다.

기존 함수를 이용하기에 앞서 '새롭게 정의된 w'와는 다른 표현법을 사용하여보자.

'함수 w는 독립인 변수 A와 종속되어 있는 변수 B에 의해 결정된다'는 표현을 사용하면 새롭게 w를 정의하지 않고도 함수 w의 변수들의 독립,종속 여부를 알릴 수 있다.(w(A, B)에서 A는 서로 독립이지만 B는 A에 의해 결정되는 변수들이다.)

이 경우의 편미분을 나타내기 위해 다음과 같은 표기법을 사용한다.

\begin{align*}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_{y, t} : \frac{\partial f}{\partial x} \text{  with  } x, y, \text{  and  } t \text{  independent.}\end{align*}

위 표기법을 숙지한 뒤 다시 위 풀이로 되돌아가 보자.

주어지는 함수의 인자가 x, y, z이고 제약조건이 하나이므로

2개의 독립인 변수와 1개의 구속된 변수로 w를 표현할 수 있게 된다.

x에 관하여 편미분을 구하는 것이므로 경우는 두 가지

(case1) x, y는 독립이고 z가 종속인 경우 : $x=x, y=y, z=z(x,y)$

(case2) x, z는 독립이고 z가 종속인 경우 : $x=x, y=y(x,z), z=z$

 

에 대해 계산을 해주면 된다.

$\partial w/\partial x$는 the Chain Rule에 의하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x} &= \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_{y,z}\frac{\partial x}{\partial x} + \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)_{x,z}\frac{\partial y}{\partial x} + \left(\frac{\partial w}{\partial z}\right)_{x,y}\frac{\partial z}{\partial x} \\ &= 2x + 2y\frac{\partial y}{\partial x} + 2z\frac{\partial z}{\partial x}\end{align*}

(case1)와 같이 y를 x에 대하여 독립이고 z는 x에 대해 독립이 아니라고 하면

$x=x, y=y, z=z(x,y)$

\begin{align*}\frac{\partial y}{\partial x}=0, \frac{\partial z}{\partial x}=2x (\because z=x^2+y^2)\end{align*}

따라서

\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x} &= \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_y \\ &= 2x + 2y(0) + 2z(2x)\\ &= 2x+0+2(x^2+y^2)(2x)\\ &= 2x + 4xy^2 + 4x^3, \end{align*}

(case2)와 같이 z를 x에 대하여 독립이고 y는 x에 대해 독립이 아니라고 하면

$x=x, y=y(x,z), z=z$

\begin{align*}\frac{\partial y}{\partial x}=-\frac{2x}{2y} (\because z=x^2+y^2\Rightarrow 0=2x+2y\frac{\partial y}{\partial x}), \frac{\partial z}{\partial x}=0 \end{align*}

따라서

\begin{align*}\frac{\partial w}{\partial x} &= \left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)_z \\ &= 2x + 2y(-\frac{2x}{2y}) + 2z(0)\\ &= 2x+(-2x)+0\\ &= 0. \end{align*}

이 됨을 확인 할 수 있다.

결론을 정리하면 다음과 같다.

1. 제약 조건이 없는 편미분 즉, 변수가 모두 독립인 경우는 일반적인 편미분을 하면 된다.

2. 제약 조건이 있는 경우 주어진 변수가 독립이 아닌 경우가 발생하고 각각의 경우에 대하여 다른 편미분이 발생한다.

3. 현실에 사용될 때에는 애초에 무엇이 독립이고 무엇이 종속인지를 알려줄 필요가 있다.

4. 무엇이 독립이고 무엇이 종속인지에 따라 기존 도메인 상에서 그려지는 커브의 모양이 변한다. 하지만 독립인 변수로 이루어진 도메인에서의 커브는 기존 도메인 상에서 그려진 커브의 정사영된 모양으로 편미분하는 변수의 축에 평행한 직선이 됨을 확인하자.

결론 : 제약조건이 있는 경우 편미분을 할 커브가 결정되지 않은 채로 편미분 계산을 해서는 안 되며

어떤 커브를 따라 편미분을 할지 결정(=독립, 종속 변수를 구분하는 행동)한 뒤에 편미분을 시도해야 한다.