[미적분학] The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series

Problem.

 

 

We know the infinite series $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^{n+1}\frac{1}{n}$ converges by using the Althernating Series Test.

 

Now, let $L$ be the series value, then

 

$$\begin{array}{r}L=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \end{array}$$

$$\begin{array}{r}\frac{1}{2}L=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{6}-\frac{1}{8}+\frac{1}{10}-\frac{1}{12}+\cdots \end{array}$$

 

 

$$\begin{array}{rl}\frac{3}{2}L& =L+\frac{1}{2}L\\ & =1+\frac{1}{3}-2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{5}-2\left(\frac{1}{8}\right)+\cdots \\ & =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}+\cdots \\ & =L\end{array}$$

 

Thus $$\frac{3}{2}L=L.$$

 

Isn't it strange?

 

아니,

$$1+\frac{1}{3}-2\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{1}{5}-2\left(\frac{1}{8}\right)+\cdots$$

의 항의 순서만 바꾸었는데

값이 다른 값이 되어버렸다.

 

도대체 어떻게 된 것일까?

 

이 사태를 파악하기 위해 우리는 다음 두 정리를 알 필요가 있다.

 

Theorem. The Rearrangement Theorem for Absolutely Convergent Series

 

If $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ converges absolutely, and $b_1,b_2,\cdots ,b_n,\cdots$ is any arrangement of the sequence $\{a_n\}$, then $\sum b_n$ converges absolutely and $$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$

 

Theorem. Riemann Series Theorem (Riemann Rearrangement Theorem)

 

 Suppose than $\{a_n\}$ is a sequence of real numbers, and that $\sum _{n=1}^{infty}{a}_n$ is conditionally covergent. Let $M$ be a real number. Then there exists a permutation $\sigma (n)$ of the sequence such that

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=M.$$

There also exists a permutation $\sigma (n)$ such

$$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{\sigma (n)}=\mathrm{\infty }.$$

The sum can also be rearranged to diverge to $-\mathrm{\infty }$ or to fail to approach any limit, finite or infinite.

 

 

 

결론적으로 무한 수열을 다룰 때는 주의가 필요하다!

 

정리하면

만약 그 급수가 absolutely covergent series 이면 항의 순서를 바꾸어도 그 값이 변하지는 않지만

만약 그 급수가 conditionally covergent series 이면 항의 순서를 바꾸었을 때 그 값이 변할 수 있다.

 

위 문제는 대표적인 conditionally convergent series 인 alternating harmonic series를 이용하였으므로

저런 결과가 나올 수 있는 것이고

애초에 항의 순서를 바꾼 수열의 급수를 같다고 놓을 수 없었다는 것에서부터 모순이 생긴다.