[2011 수능완성 적분과 통계 p20 No.5] - 적분 구간이 상수인 정적분으로 표시된 함수의 미분

적분 구간이 상수인 정적분으로 표시된 함수

예를 들어서 이런 함수

f(t)=\int_{0}^{1}e^{xt}dx

이런 건 정적분 계산 후 미분하거나, 치환을 통해서 t를 빼내고 계산 해야되는 줄 알았는데 미분을 먼저 해버려도 결과가 같다.

\frac{d }{dt}f(t)=\frac{d}{dt}\int_{0}^{1}e^{xt}dx \\ { } \hspace{51} = \frac{d}{dt} \left [ \frac1te^{xt} \right ]_0^1 \\ { } \hspace{51} = \frac d{dt}\frac1t \left(e^t-1 \right )\\ { } \hspace{51} = \frac{e^t}{t}-\frac{e^t}{t^2}+\frac{1}{t^2}

 

\frac{d }{dt}f(t)=\frac{d}{dt}\int_{0}^{1}e^{xt}dx \\ { } \hspace{51} =\int_0^1 \frac d{dt}e^{xt}dx \\ { } \hspace{51} =\int_0^1 xe^{xt}dx \\ { } \hspace{51} =\left[\frac xte^{xt}- \frac{1}{t^2}e^{xt} \right]_0^1 \\ { } \hspace{51} =\frac1te^t-\frac{1}{t^2}e^t+ \frac{1}{t^2}

 이거를 보고 딱 생각난 문제. EBS 2011년도 수능완성 적분과 통계 p20 No.5

바로 이 문제!!

분명히 그냥 미분이 안 된다고 생각하고 고민고민하다가 치환으로 풀고서 그냥 지나친 문제!!

다시 한 번 풀어보기로 하자.

풀이1. 치환 (기본 풀이)

e^t = \int_0^1 \sqrt{x} f(t\sqrt{x})dx = \int_0^t \frac{2u^2}{t^3} f(u)du ,\quad t\sqrt{x}=u \\ \Rightarrow \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t^3}\int_0^t2u^2f(u)du\right ) = \frac{2t^2f(t)t^3-\left( \int_0^t 2u^2f(u)du \right)3t^2}{t^6} = e^t\\\\\\ put \quad t=1\\ \\ 2f(1)-\left(\int_0^1 2u^2f(u)du \right)3=e \\ \Rightarrow 2f(1)-3e=e \\ \Rightarrow f(1)=2e

풀이2. 이제 미분을 먼저 해보자 

e^t = \int_0^1 \sqrt{x} f(t\sqrt{x})dx\\\Rightarrow\frac{d}{dt}\int_0^1\sqrt{x}f(t\sqrt{x})dx=\int_0^1\sqrt{x}\frac{d}{dt}f(t\sqrt{x})dx \\ { } \hspace{115} = \int_0^1xf'(t\sqrt{x})dx=e^t\\ \\put \quad t=1 \\ \\ \int_0^1xf'(\sqrt{x})dx=e\\ \Rightarrow \int_0^1 2u^3f'(u)du , \quad \sqrt{x}=u \\ = \left[2u^3f(u) \right]_0^1-\int_0^1 6u^2f(u)du \\ = \left[2u^3f(u) \right]_0^1-3\int_0^1 2u^2f(u)du \\ = 2f(1)-3e = e \\ \Rightarrow f(1)=2e

결과가 같다. 이렇게도 풀린다.

그냥 생각나는 대로 풀면 되는 걸 왜 고민하다하다 못 풀어 치환으로 풀었는지 나도 잘 모르겠다.-_-;;