[푸리에 변환] F(e^(-ax^2)) 계산

푸리에 변환 테이블을 보면

\mathfrak{F}(e^{-ax^2}) = \frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

이 있는데

유도를 하다보면 적분 구간에 허수가 들어가게 치환을 해야하는데 그냥 실수인 것 처럼 계산을 한다.

 

\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega ^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left( \sqrt{a}x+\frac{i\omega}{2\sqrt{a}}\right )^2}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega ^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left( \sqrt{a}x\right )^2}dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega ^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2}\frac{1}{\sqrt{a}}dt

 

그게 가능한 이유는 다음을 보면 알 수 있다.

 

● Cauchy's Integral Theorm    If f(z) is analytic in a simply connected domain D, then for any closed contour C in D,   \int_cf(z)dz = 0   proof : http://en.wikipedia.org/wiki/Cauchy%27s_integral_theorem 참조

 

복소평면에서 다음과 같이 직사각형 경로를 그리고 경로를 따라 적분하면 0이 되는데 C2, C4 경로 적분은 함수값이 0이 되므로(엄밀하게 증명해야 하나 생략) C1경로 적분은 -C3경로 적분과 같다.

(-C3) 경로 적분이 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega ^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left( \sqrt{a}x+\frac{i\omega}{2\sqrt{a}}\right )^2}dx

(C1) 경로 적분이 \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{\omega ^2}{4a}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-\left( \sqrt{a}x\right )^2}dx

이므로

\mathfrak{F}(e^{-ax^2}) = \frac{1}{\sqrt{2a}}e^{-\frac{\omega^2}{4a}}

을 계산할 수 있다.