Calculus에서 Substitutions in Multiple Integrals을 공부하다보면 다음 부분이 나온다.
그런데 이런 의문이 들 수 있다.
1. 치환을 할 때 왜 하필이면 Jacobian을 사용하는가?
2. 직관적인 이해를 할 수는 없을까?
어쩌면 이런 시도를 해보고 낙심을 했을 수도 있다.
\begin{align*} & x=g(u,v), \quad y=h(u,v) \\ \Rightarrow & dx=dg(u,v)=g_u du+g_v dv. \quad dy=dh(u,v)=h_u du+h_v dv \\ \Rightarrow & dxdy=(g_u du+g_v dv)(h_u du+h_v dv)\end{align*}
나오는 결과가 전혀 다른 엉뚱한 것이기 때문이다.
하지만 dxdy가 애초에 무엇을 의미하는지를 생각하면 어떻게 Jacobian이 등장하는지를 이해할 수 있다.
시작은 dxdy가 아니라 dA다. 바로 the Area Differential인 것이다.
여기서 눈여겨 볼 점은 왜 $dA=dxdy$인가라는 점이다. 어떻게 보면 당연한 사실이지만 위 궁금증을 해결하기 위해서는 좀 더 깊은 관찰력을 요구한다.
dxdy가 가능했던 이유는 바로 xy-plane이 Cartesian xy-plane 이기 때문에 $dA=\left|\left|d\vec{x}\times d\vec{y}\right|\right|=dxdy$가 될 수 있기 때문이다.
계산의 핵심은 넓이가 벡터의 외적에서 나왔다는 것!
그러면 남은 문제는 Cartesian uv-plane에서 dA를 어떻게 표현할 것인가이다.
uv-plane 에서는 dx, dy의 모양도 왜곡되어진다. 이 왜곡된 dx, dy를 uv-plane에 맞게 du, dv로 성분을 나누어 분석한다면 그 결과를 du, dv로 표현할 수 있을 것이라 기대된다.
위에서 한 계산에서 무엇이 잘못되었는지를 알았으니 다시 계산하기만 하면 된다. 실수의 곱을 벡터의 외적으로 고쳐주면 된다.
결과를 보면 dA는 바랐던대로 dudv에 관한 식으로 나왔으며 |J(u,v)|에 비례함을 볼 수 있다. 이래서 Jacobian이 쓰이는 것이다. 여기서 Jacobian의 역할은 uv-plane에서 dudv가 얼마나 수축 또는 팽창해야 dxdy에 맞추어 지는가를 나타내준다.
