$\int{\frac{e^x}{x}}dx$와 같은 부정적분은 초등함수로 표현되지 않지만 위와 같은 정적분은 double integral을 통해 계산될 수 있다.

Solution.

\begin{eqnarray*} \text{Since } \frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}=\int_a^b{e^{-xy}}dx, \\ \\ \int_0^\infty{\frac{e^{-ax}-e^{-bx}}{x}}dx &=& \int_0^\infty{\int_a^b{e^{-xy}}dy}dx \\ &=& \int_a^b{\int_0^\infty{e^{-xy}}dx}dy \\ &=& \int_a^b{ \left(0-\left({-\frac{1}{y}}\right)\right) }dy  = \int_a^b{\frac{1}{y}}dy \\ &=& lnb-lna = ln\frac{b}{a}. \end{eqnarray*}

마찬가지로 $\int{e^{-x^2}}dx$와 같은 부정적분도 초등함수로 표현되지 않지만 위 정적분도 double integral로 변형하여 계산하면 값이 간단하게 나온다.

Solution.

\begin{align*} I &= \int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx \\ \\ I^2 &= \left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx\right)\left(\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2}}dx \right) \\ &= \int_{-\infty}^{\infty}{\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-x^2-y^2}}}dxdy \\ &= \int_0^{2\pi}{\int_0^\infty{r{e^{-r^2}}}dr}d\theta \\ &= \int_0^{2\pi}{\frac{1}{2}\left(1-0\right)}d\theta \\ &= \pi \\ \\ I &= \sqrt{\pi} \end{align*}

이를 응용하면 the gamma function의 $\frac{1}{2}$값도 계산할 수 있다. ($\sqrt{t}$를 $u$로 치환하면 된다.)