1. 인트로
공부를 하다보면 텐서가 등장하기 시작하면서
Vector를 Covariant Vector와 Contravariant Vector로 나누기 시작한다.
정확하게 다루기 위해서는 좀 복잡하지만 간단하게 생각하면
이 둘의 차이는 Coordinate의 scale에서 비롯된다.
우리가 벡터를 표시할 때, Cartesian Coordinate에서
$$\vec A = x\hat x + y\hat y + z\hat z$$
로 표기를 한다.
basis를 {$\hat x, \hat y, \hat z$} 로 택하였고
그에 대응하는 coordinate vector (=components)가 {$x, y, z$}로 측정된 것이다.
이제부터 우리가 주의 깊게 볼 것은 이 벡터를 표기할 때
이 방법만 있지는 않다라는 것이다. 물론 다른 좌표계를 선택할 수 있다고 할 수 있으나
더 구체적으로 scale를 바꿀 수 있지 않을까가 핵심이다.
처음에 눈금의 간격을 1cm로 잡고 몇 개의 눈금이 세어지는 세던 것을
눈금의 간격을 0.5cm로 잡고 몇 개의 눈금이 세어지는가를 셀 수도 있다는 것이다.
이 경우 처음에는 scale을 1로 했다가 나중에는 scale를 0.5로 했더니 세어지는 눈금이 몇 배가 되었는가라는 질문을 할 수 있고 우리는 그 답이 2배라는 것을 알고 있다.
자, 이제 이를 수학적으로 표현해보도록 하자.
벡터 $\vec A$가 있다. 이 벡터는 어떤 좌표계에서 측정하던 같은 값을 가리킬 것이다.
우선 이 벡터를 좌표계1, Cartesian Coordinate(basis $\beta = (\hat x, \hat y, \hat z))$에서 측정했다고 하자.
그랬더니 그 결과(coordinate vector (=component))가 ($x, y, z$)가 나왔다고 하자.
이제 이 벡터는
$$\vec A = x\hat x + y\hat y + z\hat z$$
로 표현할 수 있다.
이제 이 벡터를 x축의 눈금의 크기를 반으로 줄인 우리의 새로운 좌표계2, $\beta ' = (\vec x', \vec y', \vec z')=(\frac{1}{2}\hat x, \hat y, \hat z)$를 basis로 하는 좌표계에서 측정을 했다고 하자.
그러면 coordinate vector ($x', y', z'$) = ($2x, y, z$)이 될 것이다.
$$\vec A = x'\vec x' + y'\vec y' + z'\vec z'=2x(\frac{1}{2}\hat x) + y\hat y + z\hat z \\ \Rightarrow \vec A = 2x\vec x' + y\vec y' + z\vec z'$$
[$\vec x'$ 은 basis의 vector 이지만 unit vector가 아님에 유의하자.]
드디어 contravariant와 covariant가 등장한다.
좌표계1을 기준으로 삼았을 때, 좌표계2의 $x'$축에 대한 scale은 좌표계1의 $x$축의 scale의 1/2배 이다.
바로 이 스케일을 기준으로 좌표계2의 basis와 component를 살펴보자.
basis의 경우 scale과 같게 크기가 변화되었으니 covariant 하게 transform 된 것이고
component의 경우 scale과 반대로(역수로) 크기가 변화되었으니 contravariant하게 transform 된 것이다.
바로 이때의 basis를 covariant basis라고 하고, coordinate vector를 contravariant vector라고 한다.
2. 정의
이제 어느 정도 감은 잡았을 거라고 보고 각각에 대한 정의를 내리도록 하자.
(Einstein Summation Conventon으로 표기...)
Definition.
Let $q^i$ denote coordinates in a general coordinate system.
Let $\vec r$ be a position vector.
The Covariant Basis Vectors $\vec{\epsilon}_i$ for the coordinate is defined by
\begin{align*}\vec{\epsilon}_i &= \frac{\partial \vec r}{\partial q^i} = \frac{\partial x^j}{\partial q^i}\hat x^j\end{align*}
Covariant Basis($\vec{\epsilon}_1, \vec{\epsilon}_2, \vec{\epsilon}_3$)를 이용하면 Contravariant coordinate vector($A^1, A^2, A^3$)를 이용하여 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\vec A = A^1\vec{\epsilon}_1 + A^2\vec{\epsilon}_2 + A^3\vec{\epsilon}_3$$
[Notation : subscript 는 covariant를 superscript는 contravariant를 의미한다.]
Definition.
Let $q^i$ denote coordinates in a general coordinate system.
Let $\vec r$ be a position vector.
The Contravariant Basis Vectors $\vec{\epsilon}^i$ for the coordinate is defined by
\begin{align*}\vec{\epsilon}^i = \frac{\partial q^i}{\partial x^j}\hat x^j\end{align*}
Contravariant Basis($\vec{\epsilon}^1, \vec{\epsilon}^2, \vec{\epsilon}^3$)를 이용하면 Covariant coordinate vector($A_1, A_2, A_3$)를 이용하여 벡터를 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$\vec A = A_1\vec{\epsilon}^1 + A_2\vec{\epsilon}^2 + A_3\vec{\epsilon}^3$$
Definition.
The Scale factor $h_i$ is defined by
\begin{align*}h_i=|\vec{h_i}| \\ \\ \quad \text{where} \quad \vec{h}_i = \frac{\partial \vec r}{\partial q^i}\end{align*}
Remarks.
1)
\begin{align*}\vec{\epsilon}_i &= |\vec{\epsilon}_i| \frac{\vec{\epsilon}_i}{|\vec{\epsilon}_i|} \\ &= h_i \hat{\epsilon_i}\end{align*}
2)
\begin{align*}\vec{\epsilon}^i &= g^{ij}\vec{\epsilon}_j\end{align*}
Remarks 2)는 metric $g^{ij}$가 등장했는데... 이는 일단 넘어가도록 하자.
Def.
$$g_{ij}=\vec{\epsilon}_i \cdot \vec{\epsilon}_j , \quad g^{ij}=\vec{\epsilon}^i \cdot \vec{\epsilon}^j, $$
Formula.
$$\vec{\epsilon}^i =g^{ij}\vec{\epsilon}_j, \quad \vec{\epsilon}_i =g_{ij}\vec{\epsilon}^j$$
자, 이제 우리는 이해하기 쉽도록
Orthogonal Coordinate에서 생각해보도록 하자.
Orthogonal Coordinate 에서는
$$g_{ij}=\vec{\epsilon}_i \cdot \vec{\epsilon}_j=0, \quad if \quad i \neq j$$
$$g_{ii}=\vec{\epsilon}_i \cdot \vec{\epsilon}_i={h_i}^2$$
이므로
\begin{align*}\vec{\epsilon}^i &= \frac{1}{{h_i}^2}\vec{\epsilon}_i =\frac{1}{{h_i}}\hat{\epsilon}_i=\frac{\hat{\epsilon}_i}{|\vec{\epsilon}_i|}\end{align*}
이 된다. 즉, contraivariant basis vector는 covariant basis vector와 방향이 같고 크기는 역수인 관계가 성립하게 된다.
3. 예시
vector의 differential은
\begin{align*}d\vec{r}=\frac{\partial \vec{r}}{\partial q^i}dq^i=\vec{\epsilon_i}dq^i=\vec{h_i}dq^i=\hat{\epsilon_i}h_i dq^i\end{align*}
gradient는
\begin{align*}\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x^j}\hat x^j=\frac{\partial f}{\partial q^i}\frac{\partial q^i}{\partial x^j}\hat x^j=\frac{\partial f}{\partial q^i}\vec{\epsilon^i} \\ \\ \text{if the coordinate is orthogonal,} \quad \nabla f=\frac{1}{h_i}\frac{\partial f}{\partial q^i}\hat{\epsilon_i} \end{align*}
다음으로는 우리가 흔히 아는 orthogonal coordinate 이면서 curvilinear coordinate인 spherical polar coordinate를 살펴보자.
By, $x=r\sin\theta\cos\phi, \quad y=r\sin\theta\sin\phi, \quad z=r\cos\theta$
\begin{align*}\vec{\epsilon}_r &=\sin\theta\cos\phi \hat x + \sin\theta\sin\phi\ \hat y + \cos\theta \hat z \\ \vec{\epsilon}_\theta &=r\cos\theta\cos\phi \hat x + r\cos\theta\sin\phi\ \hat y - r\sin\theta \hat z \\ \vec{\epsilon}_\phi &=-r\sin\theta\sin\phi \hat x + r\sin\theta\cos\phi \hat y \end{align*}
2.
By, $r^2=x^2+y^2+z^2, \quad \cos\theta = \frac{z}{r}, \quad z=r\cos\theta$
\begin{align*}\vec{\epsilon}^r &=\sin\theta\cos\phi \hat x + \sin\theta\sin\phi\ \hat y + \cos\theta \hat z \\ \vec{\epsilon}^\theta &=r^{-1}\cos\theta\cos\phi \hat x + r^{-1}\cos\theta\sin\phi\ \hat y - r^{-1}\sin\theta \hat z \\ \vec{\epsilon}^\phi &=-\frac{\sin\phi}{r\sin\theta} \hat x + \frac{\cos\phi}{r\sin\theta} \hat y \end{align*}
3.
\begin{align*}\hat{\epsilon}_r=\hat{\epsilon}^r &=\sin\theta\cos\phi \hat x + \sin\theta\sin\phi\ \hat y + \cos\theta \hat z \\ \hat{\epsilon}_\theta=\hat{\epsilon}^\theta &=\cos\theta\cos\phi \hat x + \cos\theta\sin\phi\ \hat y - \sin\theta \hat z \\ \hat{\epsilon}_\phi=\hat{\epsilon}^\phi &=-\sin\phi \hat x + \cos\phi \hat y \end{align*}
