Complex Conjugate Root Theorem

 If $P$ is a polynomial in one variable with real coefficients, and $a+bi$ is a root of $P$ with $a$ and $b$ real numbers, then its complex conjugate $a-bi$ is also a root of $P$.

Proof.

Let $P(x) = a_0 + a_1x+ a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ where all $a_r$ is real.

Suppose $z$ is a root of P, then, by properties of complex conjugation,

\begin{align*} P(\overline{z})=\sum_{r=0}^n{a_r\overline{z}^r}=\sum_{r=0}^n{a_r\overline{z^r}}=\sum_{r=0}^n{\overline{a_rz^r}}=\overline{\sum_{r=0}^n{a_rz^r}}=\overline{0}=0 \end{align*}

Fundamental Theorem of Algebra

 The fundamental theorem of algebra states that every non-constant single-variable polynomial with complex coefficients has at least one complex root. This includes polynomials with real coefficients, since every real number is a complex number with zero imaginary part.

Theorem.

실수 계수를 갖는 다항식은 실수 계수를 갖는 1차 식과 2차 식들의 곱으로 인수 분해 될 수 있다.

(실수 계수를 갖는 다항식은 실수 계수를 갖는 2차식 이하의 인수들로 분해 될 수 있다.)

The non-real factors come in pairs which when multiplied give quadratic polynomials with real coefficients. Since every polynomial with complex coefficients can be factored into 1st-degree factors (that is one way of stating the fundamental theorem of algebra), it follows that every polynomial with real coefficients can be factored into factors of degree no higher than 2: just 1st-degree and quadratic factors.

Proof.

n차 다항식은 Fundamental Theorem of Algebra에 의해 복소수를 해로 하는 n개의 1차식으로 인수분해 될 수 있다.

이 때 실수 계수 다항식 P는 Complex Conjugate Root Theorem에 의해 실수가 아닌 복소수를 해로 하는 1차식 인수는 켤레 복소수를 해로 하는 1차식 인수를 가진다.

이 두 인수를 곱하면 실수계를 갖는 2차식 인수가 나오게 된다.

이렇게 식을 정리해나가면 P는 실수를 계수로 하는 1차식과 2차식들의 곱으로 표현될 수 있다.