부분적분으로 증명 : 

\begin{align*} \int^x_a(\int^u_af(t)dt)du=\int^x_af(u)(x-u)du =& \left[u\int^u_af(t)dt)\right]^x_a-\int^x_auf(u)du\\ =&x\int^x_af(t)dt-a\int^a_af(t)dt-\int^x_auf(u)du\\ =&\int^x_af(u)(x-u)du \end{align*}

미분으로 증명 :

1) \begin{align*}\frac{d}{dx}\int^x_a(\int^u_af(t)dt)du=&\int^x_af(t)dt\\ \end{align*} 2) \begin{align*}\frac{d}{dx}\int^x_af(u)(x-u)du=&\frac{d}{dx}(x\int^x_af(u)du)-\int^x_auf(u)du)\\ =&\int^x_af(u)du+xf(x)-xf(x)=\int^x_af(u)du\\ \end{align*} 3) $$\int^x_a(\int^u_af(t)dt)du=\int^x_af(u)(x-u)du+C$$
put x=a, then $C=0$.
Therefore $$\int^x_a(\int^u_af(t)dt)du=\int^x_af(u)(x-u)du$$

이 식의 특징 : 

1) 위 정적분식의 the lower limit가 모두 a로 동일하다.

2) (-1)(-1)를 곱함으로써 위 식을 다양하게 변화시킬 수 있다.

ex) $\int^b_a(\int^b_xf(t)dt)dx=\int^b_a(x-a)f(x)dx$