[미적분학] 음함수의 미분과 음함수 적으로 정의된 함수에 관하여 주저리...

음함수의 미분을 공부하다보면 방정식 F(x,y)=0이 y를 x에 관한 음함수로 정의내린다는 것을 볼 수 있는데

한 가지 의문점이 발생한다. 예를 들어 $x^2+y^2=0$을 y에 관하여 풀면 $y=\pm\sqrt{1-x^2}$로 두 개의 함수로 이루어져 있다는 것을 알 수 있다. 처음부터 y는 x에 관한 하나의 함수로 정의될 수 없는 것이다.

그런데도 $\frac{dy}{dx}$라는 하나의 식으로 방정식 F(x,y)=0이 이루는 곡선의 위의 점에서 $\frac{dy}{dx}$의 값을 계산할 수 있다.

이를 이해하기 위해 다음 정리를 한 번 훑어보자.

The Implicit Function Theorem.

This theorem state that 

if the partial derivatives $F_x, F_y, F_z$ are continuous throughout an open region $R$ in space containing the point $(x_0, y_0, z_0)$, and if for some constant $c$, $F(x_, y_0, z_0)=c$ and $F_z(x_0, y_0, z_0)\neq0$, then

the equation $F(x, y, z)=c$ defines $z$ implicitly as a differentiable function of $x$ and $y$ near $(x_0, y_0, z_0)$, and the partial derivative of $z$ are given by 

$$\frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} \text{  and  } \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z}.$$

애초에 y가 정의될 때 함수 y 전체가 한 번에 정의되는 것이 아니라 해당 점에서 각각 정의가 되는 것으로 이해하면 되는 것이다.

위 예시의 경우에는 

$$\frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}$$

인데 $y=y(x)$ 이지만 $F=F(x, y)$이므로 $\frac{dy}{dx}$ 값이 계산되는데 x 값이 아니라 점(x, y) 가 필요하다는 것을 알 수 있다. 즉, 음함수적으로 정의되었던 함수 y가 주어진 점(x,y)에 의해서 그 점을 통과하는 하나의 함수 y로 결정이 되어지고 $\frac{dy}{dx}$는 그 함수의 미분값을 계산하게 되는 것이다.