[벡터] 벡터와 회전 좌표계 변환에 대한 주저리...

물리적의 관점에서 벡터는 좌표계를 바꾸어도 변하지 않는다.(선형대수학에서 언급하는 벡터는 물리에서 말하는 vector와 pair 또는 n-tuple까지 포함하지만 물리에서는 벡터에 좀 더 특별한 의미를 부여한다.) 바꿔 말하면 좌표계 변환에 대해 독립적이다라고 한다. 그러면서 보통 예시를 Cartesian Coordinate의 회전 변환을 보여준다.

 

이때 변환된 좌표계 x'y'에서 읽은 coordinates는

 \begin{align*} \begin{pmatrix}r_{x'} \\ r_{y'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r_{x} \\ r_{y}\end{pmatrix}\end{align*}

로 주어진다.

 

이거는 $r_{x'}$, $r_{y'}$ 값을 읽는 것은 x'y'좌표계에 찍인  $r_{x'}$, $r_{y'}$의 위치를 xy좌표계로 회전시켜 값을 읽는 것과 같으므로

고딩 때 배운 회전 변환 공식에 $-\theta$를 대입하면 된다. 따라서

 \begin{align*} \mathbf{M}=\begin{pmatrix} \cos(-\theta) & -\sin(-\theta) \\ \sin(-\theta) & \cos(-\theta) \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}\end{align*}

\begin{align*} \begin{pmatrix}r_{x'} \\ r_{y'}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}r_{x} \\ r_{y}\end{pmatrix}=\mathbf{M}\begin{pmatrix}r_{x} \\ r_{y}\end{pmatrix} \end{align*}

 

그런데 여기부터 좀 찝찝함이 생겨버린다.

좌표계의 basis 또한 같은 matrix로 변환된다는 것이다.(그래야 물리적인 의미의 벡터가 된다.)

\begin{align*} \begin{pmatrix}\hat{x}' \\  \hat{y}'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y}\end{pmatrix}=\mathbf{M}\begin{pmatrix}\hat{x} \\ \hat{y}\end{pmatrix} \end{align*}

 

애초에 basis의 원소인 $\hat{x}'$을 하나의 component로 취급한다는 것부터

변환된 좌표계의 유닛 벡터를 회전시켜보려는 직관적인 이해를 방해하지만 이것은

\begin{align*} \begin{pmatrix}\hat{x}' \\  \hat{y}'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\hat{x}'|_x & \hat{x}'|_y\\  \hat{y}'|_x&\hat{y}'|_y\end{pmatrix}\end{align*}

와 같이 변환된 각 유닛 벡터를 xy에서 읽었을 때의 x,y값으로 분해해주면 해결된다.

 

위 상태에서 분석을 해도 되지만

하지만 우린 좀 더 깔끔한 방법으로 접근하도록 해보자.

 

 

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우선 Definition을 먼저 살펴보자.

1. Orthogonal

Two vectors $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are orthogonal if $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\mathbf{0}$.

 

2. Orthonomal

Two vectors $\mathbf{u}$ and $\mathbf{v}$ are orthonomal if $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} =\mathbf{0}$ and they are unit vectors.

 

3. Orthogonal matrix

A square matrix $\mathbf{A}$ is orthogonal matrix if $\mathbf{A}^{-1}=\mathbf{A}^T$.

 

orthogonal은 수직이고 orthonomal은 수직인 데다가 unit vector이기까지 한 것이다.

따라서 orthonomal coordinate의 경우 각 basis의 원소에 대해 Kronecker-delta를 이용하여 표현하면 다음과 같은 식이 성립한다.

$$\hat{e_i}\cdot\hat{e_j}=\delta_{ij}$$

Orthogonal matrix의 경우 $\mathbf{A}^T \mathbf{A}= \mathbf{A} \mathbf{A}^T=\mathbf{I}$라는 사실에도 주목하자.

(참고 Thm : If $\mathbf{A}$ is orthogonal matrix, then column vectors of $\mathbf{A}$ are orthonomal and row vectors of $\mathbf{A}$ are also orthonomal.)

 

 

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다시 본론으로 돌아와서 벡터 $\mathbf{r}$에 대해 살펴보자.

앞서 말한 벡터의 좌표계 변환에 대한 이야기는 다음과 같이 좀 더 엄밀하게 표현될 수 있다.

Def. Coordinate와 basis가 동일한 Orthogonal Transformation Matrix에 의해 변환되는 것을 벡터라고 한다.

(이것은 차차 음미하도록 하고...)

 

matrix $\mathbf{M}$을 orthogonal matrix라고 하면 (물론 우리는 이미 우리가 설정한 좌표계 변환의 $\mathbf{M}$의 성분을 알고 있지만 모른다고 가정하고 진행하자.)

$\mathbf{r}$은 basis와 coordinate vector에 의해 다음과 같이 표현될 수 있고 $\mathbf{M}^T \mathbf{M}= \mathbf{I}$를 이용하여 좌표계 변환을 할 수 있다.

 

 \begin{align*} \mathbf{r}&=\hat{x}r_x+\hat{y}r_y=\begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} \mathbf{M}^T\mathbf{M} \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} \\ \\ &=\left( \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} \mathbf{M}^T \right) \left(\mathbf{M} \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} \right) \\ \\&=\begin{pmatrix} \hat{x}' & \hat{y}' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{x'} \\ r_{y'} \end{pmatrix}=\hat{x}'r_{x'}+\hat{y'}r_{y'} \end{align*}

 

where
 \begin{align*} &\begin{pmatrix} \hat{x}' & \hat{y}' \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} \mathbf{M}^T \\ or \quad &  \begin{pmatrix} \hat{x}' \\ \hat{y}' \end{pmatrix}=\mathbf{M} \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix} \\ \\ and \quad & \begin{pmatrix} r_{x'} \\ r_{y'} \end{pmatrix}=\mathbf{M} \begin{pmatrix} r_x \\ r_y \end{pmatrix} \end{align*}

로 결정되는 것을 확인할 수 있다.

드디어 basis과 coordinate가 왜 동일한 Orthogonal Transformation Matrix에 의해 변환되는지가 설명되었다.

 

이제 남은 것은 $\mathbf{M}$이 앞에서 구한 component와 일치하는가이다.

이건 이렇게 해보면 알 수 있다.

 \begin{align*} \begin{pmatrix} \hat{x}' \\ \hat{y}' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \hat{x}'\cdot\hat{x} & \hat{x}'\cdot\hat{y} \\ \hat{y}'\cdot\hat{x} & \hat{y}'\cdot\hat{y}\end{pmatrix}=\mathbf{M} \begin{pmatrix} \hat{x} \\ \hat{y} \end{pmatrix}  \begin{pmatrix} \hat{x} & \hat{y} \end{pmatrix} =  \mathbf{M}\begin{pmatrix} \hat{x}\cdot\hat{x} & \hat{x}\cdot\hat{y} \\ \hat{y}\cdot\hat{x} & \hat{y}\cdot\hat{y}\end{pmatrix}=\mathbf{M}\mathbf{I}=\mathbf{M} \end{align*}

 

 

\begin{align*} \mathbf{M} =\begin{pmatrix} \hat{x}'\cdot\hat{x} & \hat{x}'\cdot\hat{y} \\ \hat{y}'\cdot\hat{x} & \hat{y}'\cdot\hat{y}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \cos\theta & \cos\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) \\ \cos\left(\frac{\pi}{2}+\theta\right) & \cos\theta \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta \\ -\sin\theta & \cos\theta \\ \end{pmatrix}\end{align*}

 

앞서 구한 결과와 동일한 것을 알 수 있다.

 

자, 이제 찝찝했던 부분이었던 왜 하필 basis가 $\mathbf{M}$으로 변환되는가에 대한 의문이 풀렸다.

원래는 벡터 $\mathbf{r}$을 표현하기 위해 basis와 coordinate vector를 행렬곱으로 표현하고

basis 부분은 coordinate vector의 변환 $\mathbf{M}$에 대응되는 $\mathbf{M}^T$로 변환되지만

(그래야 orthogonal matrix를 이용한 coordinate transform이니까)

우리가 보기 편한 방식으로 basis 부분을 다시 transpose 시켜서 $\mathbf{M}$가 되어버린 것이다.

 

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여기서 왜 하필 basis가 $\mathbf{M}^T$로 변환되느냐고 묻는다면

coordinate vector가 $\mathbf{M}$로 변환된다는 것 자체가 애초에 basis가 그렇게 결정되었기 때문이라고 할 수도 있고

아니면 위에서 소개한 basis를 component로 다 쪼갠 뒤 xy좌표계로 다시 읽어서 $\mathbf{M}^T$를 찾아낼 수도 있다.

(component로 쪼갰으니 x', y' 각각에 $\theta$에 대한 고딩 회전변환을 사용하면 바로 나온다.)

 

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