논리 연산자의 경우 $\land$, 와 $\lor$을 사용하는데, 실상 많이 쓰이는 것은 $\forall$(for all)과 $\exists$(for some)이다.

각각이 그냥 쓰인다면 별 문제가 없지만 저런 것들이 혼용이 되면 혼란이 오기 시작한다.

하지만 기본에 충실하여 논리 연산자의 결합,교환,분배 법칙과의 연관을 생각하면 혼동을 피할 수 있다.

for all의 경우 $\land$의 나열로 생각하고 for some의 경우 $\lor$의 나열로 생각하자.

명제 $P_i$, $R_j$에 대해서 for all 또는 for some이 두 개가 동시에 나열되는 경우는 다음과 같이 여섯가지로 생각할 수 있다.

\begin{align*} \forall i, P_i \land \forall j, R_j \\  \forall i, P_i \lor \forall j, R_j \\ \exists i \ni P_i \land \exists j \ni R_j \\ \exists i \ni P_i \lor \exists j \ni R_j \\ \forall i, P_i \land \exists j \ni R_j \\  \forall i, P_i \lor \exists j \ni R_j  \end{align*}

각각의 경우에 대해서 $P_i$를 $P, Q$로 $R_j$를 $R, S$로 생각하여 풀어보면 다음과 같다.

\begin{align*} \text{i)} \forall i, P_i \land \forall j, R_j & \\ & (P \land Q) \land (R \land S) \iff P \land Q \land R \land S \\ \\ & Thus \quad \forall i, j, P_i \land R_j \\ &\text{Ex.} \quad Clear... \\ \\ \\ \\ \text{ii)} \forall i, P_i \lor \forall j, R_j & \\ & (P \land Q) \lor (R \land S) \\ \iff & (P \lor R) \land (Q \lor R) \land (P \lor S ) \land (Q \lor S) \\ \\ & \text{Thus} \quad \forall i,j, P_i \lor R_j \\ & \text{Ex.} \\ & \quad ( \bigcap_{i \in I}A_i ) \cup ( \bigcap_{j \in J} B_j )=\bigcap_{(i,j) \in I\times J}\left(A_i \cup B_j\right) \\ \\ \\ \\ \text{iii)} \exists i \ni P_i \land \exists j \ni R_j & \\ & (P \lor Q) \land (R \lor S) \\ \iff & (P \land R) \lor (Q \land R) \lor (P \land S ) \lor (Q \land S) \\ \\ & \text{Thus} \quad \exists (i,j) \ni P_i \land R_j \\ & \text{Ex.} \\ & \quad ( \bigcup_{i \in I}A_i ) \cap ( \bigcup_{j \in J} B_j )=\bigcup_{(i,j) \in I\times J}\left(A_i \cap B_j\right) \\ \\ \\ \\ \text{iv)} \exists i \ni P_i \lor \exists j \ni R_j & \\ & (P\lor Q) \lor (R \lor S) \iff P \lor Q \lor R \lor S \\ \\ & \text{Thus} \quad \exists i \ or \ j \ni P_i \lor R_j \\ & \text{Ex.} \quad Clear... \\ \\ \\ \\ \text{v)} \forall i, P_i \land \exists j \ni R_j & \\ & (P \land Q) \land (R \lor S) \\ \iff & (P \land Q \land R) \lor ( P \land Q \land S) \\ \\ & \text{Thus} \quad \exists j \ni \forall i, P_i \land R_j \ || \ \forall i, \exists j \ni P_i \land R_j \\ & \text{Ex.} \\ & \quad (\bigcap_{i \in I}A_i) \cap (\bigcup_{j \in J}B_j)=\bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J}(A_i \cap B_j))=\bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I}(A_i \cap B_j)) \\ \\ \\ \\ \text{vi)} \forall i, P_i \lor \exists j \ni R_j & \\ & (P \land Q) \lor (R \lor S) \\ \iff & (P \lor R \lor S) \land ( Q \lor R \lor S) \\ \\ & \text{Thus} \quad \forall i, \exists j \ni P_i \land R_j \ || \ \exists j \ni \forall i, P_i \land R_j \\ & \text{Ex.} \\ & \quad (\bigcap_{i \in I}A_i) \cup (\bigcup_{j \in J}B_j)=\bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J}(A_i \cup B_j))=\bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I}(A_i \cup B_j)) \\\end{align*}

$\text{ii)}$의 경우 결과가 둘 중에 하나만 만족하면 되나 하고 착각할 수도 있지만 도메인이 $(i,j) \in I \times J$이므로 $i$하나를 고정시켰을 때 모든 $j$가 휩쓸고 지나간다는 것을 알 수 있다.

$\text{v), vi)}$ 경우 결과가 for all, for some의 순서를 바꾸어도 된다는 것에 주목하자.

하지만 보통의 경우 for all과 for some 의 위치를 마구잡이로 바꾸면 안 된다.

한 가지 예로 실수 집합의 역원에 관한 문구를 살펴보자.

$$\forall a \in \mathbb R, \exists -a \in \mathbb R \ni a+(-a)=(-a)+a=0$$

(각각의 $a\in\mathbb R$에 대해 더해서 0으로 만들 수 있는 각각의 $-a\in\mathbb R$가 존재한다. "$\forall i, (\exists j \ni P)$" 형식.)만약 여기에서 순서를 바꾸어

$$\exists -a \in \mathbb R \ni a+(-a)=(-a)+a=0, \forall a \in \mathbb R$$

로 하면 하나의 $-a\in\mathbb R$로 모든 $a\in\mathbb R$에 대해 더해서 0으로 만들 수 있는 것이 존재 한다("$\exists j \ni (\forall i, P)$" 형식)는 말도 안 되는 문구가 생기게 된다.

한 가지 더 예를 들어보자.

Thm.

$$\bar f(\bigcap_{i \in I}C_i) \subseteq \bigcap_{i \in I} \bar f(C_i)$$

<pf> \begin{align*}y\in \bar f(\bigcap_{i \in I}C_i) & \Leftrightarrow \exists x \in \bigcap_{i \in I}C_i \ni y=f(x) \\ & \Leftrightarrow \exists x \ni \forall i \in I, x \in C_i \land y=f(x) \\ & \Rightarrow \forall i \in I, y \in \bar f(C_i) \quad (\Leftrightarrow \forall i \in I, \exists x \in C_i \ni y=f(x)) \\ & \Leftrightarrow y \in \bigcap_{i \in I} \bar f(C_i)\end{align*}

위 과정에서

$$\exists x \ni \forall i \in I, x \in C_i \land y=f(x) \nLeftarrow \forall i \in I, \exists x \in C_i \ni y=f(x)$$

에 주의하자.