[미적분학] div와 curl이 같은 두 벡터 필드는 같을까?

 If $\nabla \cdot \vec{F_1} = \nabla \cdot \vec{F_2}$ and $\nabla \times \vec{F_1} = \nabla \times \vec{F_2}$ over a region $D$ enclosed by the surface $S$ with outward unit normal $\vec{n}$ and that $\vec{F_1}\cdot\vec{n}=\vec{F_2}\cdot\vec{n}$ on $S$, then $\vec{F_1}=\vec{F_2}$ throughout $D$.

 

 

주의할 것은 유사한 조건인 아래와 같은 경우는 성립하지 않는다는 것이다.

 

 Disprove that

if $\nabla \cdot \vec{F_1} = \nabla \cdot \vec{F_2}$ and $\nabla \times \vec{F_1} = \nabla \times \vec{F_2}$, then $\vec{F_1}=\vec{F_2}$.

 

c.e. ) $\vec{F_1} - \vec{F_2} = y\hat{i} + x\hat{j}$

 

:: Comment ::

div와 curl이 같은 함수 또는 div와 curl의 차이가 0인 함수를 찾는 것은 어쨌든 미방을 푸는 것이다.

따라서 적분 상수가 붙게 되는데 바로 그 적분 상수는 harmonic function의 gradient인 것이다.

(harmonic function = laplacian이 0 , hence gradient harmonic function 은 div도 0, curl도 0이다.)